ESTATICA DE LOS FLUIDOS
La
estática de fluidos estudia el equilibrio de gases y líquidos. A partir de los
conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la
hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden considerarse consecuencias. El
hecho de que los gases, a diferencia de los líquidos, puedan comprimirse hace
que el estudio de ambos tipos de fluidos tengan algunas características
diferentes. En la atmósfera se dan los fenómenos de presión y de empuje que
pueden ser estudiados de acuerdo con los principios de la estática de gases.
Se entiende por fluido
un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino
que se adapta a la del recipiente que los contiene. La materia fluida puede ser
trasvasada de un recipiente a otro, es decir, tiene la capacidad de fluir. Los
líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los
primeros tienen un volumen constante que no puede mortificarse apreciablemente
por compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles. Los
segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los
contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos,
sí pueden ser comprimidos.
El estudio de los fluidos
en equilibrio constituye el objeto de la estática de fluidos, una parte
de la física que comprende la hidrostática o estudio de los líquidos en
equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en equilibrio y en
particular del aire.
INTRODUCCION A LA DENSIDAD DE LOS CUERPOS
Densidad
Los cuerpos difieren por lo
general en su masa y en su volumen. Estos dos atributos físicos varían de un
cuerpo a otro, de modo que si consideramos cuerpos de la misma naturaleza,
cuanto mayor es el volumen, mayor es la masa del cuerpo considerado. No
obstante, existe algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo
en cuestión y que explica el porqué dos cuerpos de sustancias diferentes que
ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa.
Aun cuando para cualquier
sustancia la masa y el volumen son directamente proporcionales, la relación de
proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Es precisamente la constante
de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por densidad y se
representa por la letra D
m = constante.V
es decir:
m = D.V
Despejando ρ de la anterior
ecuación resulta:
D = m/V
………………………………………………………………………………….(1)
ecuación que facilita la
definición de D y también su significado físico. La densidad D de una sustancia
es la masa que corresponde a un volumen unidad de dicha sustancia. Su unidad en
el SI es el cociente entre la unidad de masa y la del volumen, es decir kg/m ³
o kg.m-3.
A diferencia de la masa o
el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente depende solamente del tipo
de material de que está constituido y no de la forma ni del tamaño de aquél. Se
dice por ello que la densidad es una propiedad o atributo característico de
cada sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero
en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condiciones de
medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperatura a la
que se refiere el valor dado para la densidad y en el caso de los gases se ha
de indicar, junto con dicho valor, la presión.
Densidad y peso específico
La densidad está
relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por
lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso.
Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también
mucho más denso. Esto es debido a la relación P = m.g existente entre masa y
peso. No obstante, para referirse al peso por unidad de volumen la física ha
introducido el concepto de peso específico ρ que se define
como el cociente entre el peso P de un cuerpo y su volumen:
ρ = P/V
El peso específico
representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unidad de la misma
sustancia considerada. La relación entre peso específico y densidad es la misma
que la existente entre peso y masa. En efecto:
ρ = P/V = m.g/V = D.g ………………………………………………………………..(.2)
siendo g la aceleración de
la gravedad. La unidad del peso específico en el SI es el N/m ³ o N.m-3.
Densidad relativa
La densidad relativa
de una sustancia es el cociente entre su densidad y la de otra sustancia
diferente que se toma como referencia o patrón:
D r = D / D p……………………………………………………………………………………………………………………..(3)
Para sustancias líquidas se
suele tomar como sustancia patrón el agua cuya densidad a 4 °C es igual a 1000 kg/m ³. Para gases la
sustancia de referencia la constituye con frecuencia el aire que a 0 °C de
temperatura y 1 atmósfera de presión tiene una densidad de 1,293 kg/m ³. Como
toda magnitud relativa, que se obtiene como cociente entre dos magnitudes
iguales, la densidad relativa carece de unidades físicas.
El fundamento del densímetro
La determinación de
densidades de líquidos tiene importancia no sólo en la física, sino también en
el mundo del comercio y de la industria. Por el hecho de ser la densidad una
propiedad característica -cada sustancia tiene una densidad diferente- su valor
puede emplearse para efectuar una primera comprobación del grado de pureza de
una sustancia líquida.
El
densímetro es un sencillo aparato que se basa en el principio de Arquímedes. Es, en esencia, un flotador de vidrio
con un lastre de mercurio en su parte inferior que le hace sumergirse
parcialmente en el líquido- y un extremo graduado directamente en unidades en
densidad. El nivel del líquido marca sobre la escala el valor de su densidad.
En el equilibrio, el peso P
del densímetro será igual al empuje E:
P = E
Si se
admite, para simplificar el razonamiento, que su forma es la de un cilindro, E
será igual, de acuerdo con el principio de Arquímedes, al peso del volumen V del líquido
desalojado, es decir:
E = V.D.g = S.h.D.g
donde h es la altura
sumergida y S la superficie de la base del cilindro.
Dado que el peso del
densímetro es igual a su masa m por la gravedad g, igualándolo al empuje
resulta:
S.h.D.g = m.g
es decir:
D = m/A.h
donde m y S son constantes,
luego es inversamente proporcional a la altura sumergida. Midiendo alturas
sumergidas pueden, por tanto, determinarse densidades. La determinación de la
pureza de la leche de vaca es una de las aplicaciones industriales del
densímetro.
LA PRESION
El concepto de presión
Cuando se ejerce una fuerza
sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no sólo de su
intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre la superficie del cuerpo.
Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre mas en
la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo
impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se
hunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la
fuerza sobre una mayor superficie, puede caminar sin dificultad. El cociente
entre la intensidad F de la fuerza aplicada perpendicularmente sobre una
superficie dada y el área S de dicha superficie se denomina presión:
p = F/S
…………………………………………………………………………………...(4)
La presión representa la
intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la
superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una
superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para
una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante.
La presión en los fluidos
El concepto de presión es
muy general y por ello puede emplearse siempre que exista una fuerza actuando
sobre una superficie. Sin embargo, su empleo resulta especialmente útil cuando
el cuerpo o sistema sobre el que se ejercen las fuerzas es deformable. Los
fluidos no tienen forma propia y constituyen el principal ejemplo de aquellos
casos en los que es más adecuado utilizar el concepto de presión que el de
fuerza.
Cuando un fluido está
contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto,
puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas
sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del
recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían
el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio.
La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión,
por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, resulta
independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar.
Unidades de presión
En el SI la unidad de
presión es el pascal, se representa por Pa y se define como la
presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad actuando
perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa
equivale, por tanto, a 1 N/m ².
Existen, no obstante, otras
unidades de presión que sin corresponder a ningún sistema de unidades en
particular han sido consagradas por el uso y se siguen usando en la actualidad
junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar.
La atmósfera (atmósfera) se
define como la presión que a 0 °C ejercería el peso de una columna de mercurio
de 76 cm de altura y 1 cm ² de sección sobre su base. Es posible calcular su
equivalencia en N/m ² sabiendo que la densidad del mercurio es igual a 13,6.10³
kg/m ³ y recurriendo a las siguientes relaciones entre magnitudes:
Peso (N) = masa (kg).9,8 m/s ²
Masa = volumen.densidad
Presión = Fuerza /
Superficie
Como el volumen del
cilindro que forma la columna es igual a la superficie de la base por la
altura, se tendrá:
Presión = 1 atmósfera =
masa.9,8 m/s ²/superficie = superficie.(0,76 m.13,6.10³ kg/m ³.9,8 m/s
²)/superficie
es decir: 1 atmósfera =
1,013.105 Pa.
El bar es realmente un
múltiple del pascal y equivale a 105 N/m ². En meteorología se
emplea con frecuencia el milibar (mb) o milésima parte del bar 1 mb = 10
² Pa y 1 atmósfera = 1.013 mb
LA HIDROSTATICA
La ecuación fundamental de la
hidrostática
Todos los líquidos pesan,
por ello cuando están contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen
a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un
punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la
columna de líquido que tenga por encima suyo. Considérese un punto cualquiera
del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido. La
fuerza del peso debido a una columna cilíndrica de líquido de base S situada
sobre él puede expresarse en la forma
F peso = mg =
V.g = g.h.S
siendo V el volumen de la
columna y D la densidad del líquido, la presión debida al peso vendrá dada por:
p peso = F/A = g.h.S/S = h.D.g
La presión en un punto
La definición de la presión
como cociente entre la fuerza y la superficie se refiere a una fuerza constante
que actúa perpendicularmente sobre una superficie plana. En los líquidos en
equilibrio las fuerzas asociadas a la presión son en cada punto perpendiculares
a la superficie del recipiente, de ahí que la presión sea considerada como una
magnitud escalar cociente de dos magnitudes vectoriales de igual dirección: la
fuerza y el vector superficie. Dicho vector tiene por módulo el área y por
dirección la perpendicular a la superficie.
Cuando la fuerza no es
constante, sino que varía de un punto a otro de la superficie S considerada,
tiene sentido hablar de la presión en un punto dado. Si la fuerza es variable y
F representa la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la
superficie S la fórmula
p = F/S
define, en este caso, la
presión media. Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión exterior
adicional po,como la atmosférica por ejemplo, la presión total p en
el punto de altura h sería:
p = p0 + p
peso = p0 + h.D.g
Esta ecuación puede
generalizarse al caso de que se trate de calcular la diferencia de presiones D
p entre dos puntos cualesquiera del interior del líquido situados a diferentes
alturas,resultando:
D p = D.g.D h
es decir:
p2 - p1
= D.g.(h2 - h1) …………………………………………………………………….(6)
que constituye la llamada ecuación
fundamental de la hidrostática. Esta ecuación indica que para un líquido
dado y para una presión exterior constante la presión en el interior depende
únicamente de la altura. Por tanto, todos los puntos del líquido que se
encuentren al mismo nivel soportan igual presión. Ello implica que ni la forma
de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión
que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido. Esto es lo que se
conoce como paradoja hidrostática, cuya explicación se deduce a modo de
consecuencia de la ecuación fundamental.
El principio de Pascal y sus aplicaciones
La presión
aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con
el mismo valor a cada una de las partes del mismo. Este enunciado, obtenido a
partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662), se conoce como
principio de Pascal.
El principio de Pascal
puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la
hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. En esta clase de
fluidos la densidad es constante, de modo que de acuerdo con la ecuación p = p0 + ρ . g.h si
se aumenta la presión en la superficie libre, por ejemplo, la presión en el
fondo ha de aumentar en la misma medida, ya que ρ . g.h no varía al no
hacerlo h.
La prensa hidráulica
constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un
dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en
dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está
completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de
secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos
cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo
de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1
la presión p1 que se origina en el líquido en contacto con él
se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido;
por tanto, será igual a la presión p2 que ejerce el líquido
sobre el émbolo de mayor sección S2, es decir:
p1 = p2 
F1/S1
= F2/S2 F2 = F2.S1/S2
Si la
sección S2 es veinte veces mayor que la S1,
la fuerza F1 aplicada sobre el émbolo pequeño se ve
multiplicada por veinte en el émbolo grande. La prensa hidráulica es una
máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad
de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y
muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.
El principio de los vasos comunicantes
Si se tienen dos
recipientes comunicados y se vierte un líquido en uno de ellos en éste se
distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades,
el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Este es el llamado
principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación
fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el
mismo nivel, sus presiones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir:
pA = p0
+ D.g.hA y pB = p0 + D.g.hB
luego si pA = pB
necesariamente las alturas hA y hB de las
respectivas superficies libres han de ser idénticas hA = hB.
Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces
las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. En
efecto, si pA = pB, se tendrá:
D A.g.hA
= D B.g.hB
hA/hB
= D A/ D B……………………………………………………………………………………………………………….(7)
Esta ecuación permite, a
partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la
densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un
modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es
conocida.
Ejemplo de
la ecuación fundamental de la hidrostática: Un
submarinista se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m.
Determinar la presión a la que está sometido y calcular en cuántas veces supera
a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del agua del
mar es de 1.025 kg/m ³. De acuerdo con la ecuación fundamental de la
hidrostática:
p = p0 + h.D.g
Considerando que la presión
p0 en el exterior es de una atmósfera (1 atmósfera = 1,013.105
Pa), al sustituir los datos en la anterior ecuación resulta:
p = 1,013.105 Pa
+ 1025. kg/m ³.9,8 m/s ².100 m = 11,058.105 Pa
El número de veces que p es
superior a la presión exterior pose obtiene hallando el cociente
entre ambas:
p/p0 = 11,058.105
Pa/1,053.105 Pa = 10,5 veces
Ejemplo
del principio de pascal: El elevador hidráulico de un
garaje funciona mediante una prensa hidráulica conectada a una toma de agua de
la red urbana que llega a la máquina con una presión de 5.105 N/m ².
Si el radio del émbolo es de 20 cm y el rendimiento es de un 90 %, determinar
cuál es el valor en toneladas de la carga que como máximo puede levantar el
elevador. De acuerdo con el principio de Pascal:
p1 = p2
que para una prensa
hidráulica se transforma en:
F1/S1
= F2/S2
En este caso el dato que
correspondería al émbolo pequeño de la prensa se facilita en forma de presión,
de modo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene:
p1 = F2/S2 ó F2 = p1/S2
Dado que S2 = π.R ² = 0,126 m ²
F2 = 5.105.N/m
².0,126 m ² = 6,3.104 N
Como el rendimiento es del
90 % (η = 0,9) el valor efectivo de la carga máxima expresado en newtons será:
F máxima =
0,9.6,3.104 N = 5,67.104 N
Una tonelada métrica
equivale al peso de un cuerpo de 1000 kg de masa, es decir:
1t = 1000 kg.9,8 m/s ² =9,8.10³ N F máximo (t) = 5,67.104 N/9,8.10³ N 5,8 t
EQUILIBRIO DE SÓLIDOS
Empuje hidrostático: principio de
Arquímedes
Los
cuerpos sólidos sumergidos en un líquido experimentan un empuje hacia
arriba. Este fenómeno, que es el fundamento de la flotación de los barcos, era
conocido desde la más remota antigüedad, pero fue el griego Arquímedes (287-212 a. de C.) quien indicó cuál
es la magnitud de dicho empuje. De acuerdo con el principio que lleva su
nombre, todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un
empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desalojado.
Aun cuando
para llegar a esta conclusión Arquímedes se apoyó en la medida y
experimentación, su famoso principio puede ser obtenido como una consecuencia
de la ecuación fundamental de la hidrostática. Considérese un cuerpo en forma
de paralelepípedo, las longitudes de cuyas aristas valen a, b y c metros,
siendo c la correspondiente a la arista vertical. Dado que las fuerzas
laterales se compensan mutuamente, sólo se considerarán las fuerzas sobre las
caras horizontales. La fuerza F1 sobre la cara superior
estará dirigida hacia abajo y de acuerdo con la ecuación fundamental de la
hidrostática (ec. 5.5) su magnitud se podrá escribir como
F1 = p1.S1
= (p0 + D.g.h1).S1
siendo S1
la superficie de la cara superior y h1 su altura respecto de
la superficie libre del líquido. La fuerza F2 sobre la cara
inferior estará dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitud
será dada por:
F2 = p2.S2
= (p0 + D.g.h2).S2
La resultante de ambas
representará la fuerza de empuje hidrostático E.
E = F2 - F1
= (p0 + D.g.h2).S2 - (p0 + D.g.h1).S1
pero, dado que S1 = S2 = S y h2 = h1
+ c, resulta:
E = D.g.c.S = D.g.V = m.g (5.8)
que es
precisamente el valor del empuje predicho por Arquímedes en su principio, ya que V = c.S es el
volumen del cuerpo, ρ la densidad del líquido ,m = ρ .V la masa del liquido
desalojado y finalmente m.g es el peso de un volumen de líquido igual al
del cuerpo sumergido.
Equilibrio de los cuerpos sumergidos
De acuerdo
con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un
líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso P han
de ser iguales en magnitudes y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En
tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo es el momento M,
con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = P
equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales.
En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente.
Si el cuerpo no es
homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geométrico, que es
el punto en donde puede considerarse aplicada la fuerza de empuje. Ello significa
que las fuerzas E y P forman un par que hará girar el cuerpo
hasta que ambas estén alineadas.
Equilibrio de los cuerpos flotantes
Si un cuerpo sumergido sale
a flote es porque el empuje predomina sobre el peso (E >P). En
el equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán
alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por
ejemplo. Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de
mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par de
fuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el
momento M del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la
capacidad para recuperar la verticalidad. Ello se consigue diseñando
convenientemente el casco y repartiendo la carga de modo que rebaje la posición
del centro de gravedad, con lo que se consigue aumentar el brazo del par.
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